- مجموعه ای شامل 130 مساله ی حسابان برای آمادگی در امتحانات - با تشکر از danavan

http://mofidy.persiangig.com/%D9%8DE...20problems.pdf

ماشين توليد عددهاي اول كانوِي 

اين عددها تعريف ساده‌اي دارند و از آنجا كه هر عدد طبيعي به طور يكتا به عددهاي اول تجزيه مي‌شود، عددهاي اول نقشي اساسي را در نظريه‌ي اعداد به خود اختصاص داده‌اند. اما با شناخته شدن نقش اساسي اين عددها در رياضيات،‌ سوال‌هاي زيادي در مورد آنها مطرح شد كه بيشتر آنها بدون جواب مانده‌اند و يا اينكه يافتن پاسخ براي آنها سال‌هاي زيادي وقت برده است. شايد معروف‌ترين اين سوال‌ها، سوال ساده‌ي گلدباخ (Goldbach) است:

«آيا هر عدد زوج بزرگ‌تر از 2 حاصل‌جمع دو عدد اول است؟»

سوالي كه بي‌پاسخ مانده است. و يا حدس عددهاي اول دوقلو كه عبارت است از اين‌كه:‌

«بيشمار عدد اول موجودند كه حاصل‌جمع آنها با 2 نيز عددي اول است.»
درستي يا نادرستي اين حدس نيز هنوز اثبات نشده است. و سوال‌هاي زياد ديگر. حتماً زنگ‌تفريحي را به صورت خاص به معرفي تعدادي از اين سوال‌هاي اختصاص خواهم داد.

جان كانوِي

اما سوال ديگري كه در مورد عددهاي اول هميشه مطرح بوده پيدا كردن فرمولي است كه عددهاي اول را به ما معرفي كند. اين موضوع نيز مورد مناقشه است، يعني بعضي به دنبال كشف آنند و بسياري از رياضي‌دانان نيز اميدي به يافتن اين فرمول ندارند. در اين موضوع نيز حتماً‌ در آينده به بحث خواهيم پرداخت.اما روشي كه بتوان به‌وسيله‌ي آن عددهاي اول را پيدا كرد، روش معروف غربال اراتُستن است. در اين زنگ‌تفريح قصد دارم شما را با روشي ديگر براي يافتن عددهاي اول معرفي كنم. روشي كه به بازي كانوي يا ماشين توليد عددهاي اول كانوي (Conway’s prime-producing machine) يا فِرَكترَن‌ (Fractran) معروف است.

فركترن نام الگوريتمي است كه با استفاده از تعدادي متناهي كسر، عددهاي مختلف را به عنوان ورودي مي‌گيرد و خروجي آن نيز عددي طبيعي است. كسرهاي زير را در نظر بگيريد (براي راحتي در محاسبه، به هر كسر يك حرف نسبت مي‌دهيم):

الگوريتم به اين صورت عمل مي‌كند كه عددي طبيعي را مي‌گيرد، و در اولين كسر از چپ كه حاصل‌ضرب آن با عدد ورودي عددي طبيعي شود، ضرب مي‌كند. همين عمل را براي عدد حاصل انجام مي‌دهد و الگوريتم ادامه پيدا مي‌كنيد. اما ادعايي كه كانوي مي‌كنيد اين است كه اگر با عدد 2 به عنوان ورودي اول شروع كنيم، الگوريتم خروجي جالب توجهي خواهد داشت. همان‌گونه كه در زير مي‌بينيد، پس از 19 مرحله به عدد 4، يعني 2² رسيده‌ايم:

آن‌چه جان ه. كانوي (John H. Conway) ادعا كرده است اين است كه توان‌هاي عدد 2 كه در اين الگوريتم حاصل مي‌شوند،‌ فقط توان‌هاي اول عدد دو هستند! البته تاكيد مي‌كنم كه اين فرمول براي محاسبه‌ي عددهاي اول محسوب نمي‌شود و در واقع روش پنهاني غربال اراتستن است.

داستان اين كسرها به همين‌جا ختم نشد. در سال 1999 ميلادي، دِوين كيلمينستِر (Davin Kilminster) ده كسر زير را پيدا كرد كه با شروع كردن از عدد 10 و اجراي الگوريتم فركترن، توان‌هاي اول عدد 10 را به ما خواهد داد:
 

البته او بعداً تعداد اين كسرها را به نُه كسر زير تقليل داد:

منبع: http://imo.blogfa.com/

در ریاضیات، مفهوم حد، برای بیان رفتار یک تابع مورد استفاده قرار می گیرد و به بررسی این رفتار در نقاط روی صفحه و یا در بی نهایت می پردازد. حد در حساب دیفرانسیل و انتگرال و نیز در آنالیز ریاضی برای تعریف مشتق و نیز مفهوم پیوستگی مورد استفاده قرار می گیرد.

حد تابع در یک نقطه

اگر یک تابع و یک عدد حقیقی باشد و داشته باشیم: آن گاه این فرمول را چنین میخوانیم > توجه کنید که این عبارت حتی اگر
باشد نیز می تواند درست باشد. در عوض تابع در نقطه c تعریف نشده است.حالی مثالی را ذکر می کنیم:تابع زیر را در نظر میگیریم 

 

حال متغیر x را به عدد2 نزدیک می کنیم و خواهیم دید که مقدار تابع به 0.4 نزدیک می شود. در این مورد مشاهده می شود که در این صورت گزینه تابع در نقطه X=C دارای
پیوستگی است. اما همیشه این مورد برقرار نیست.


منحنی زرد رنگ در همه جا پیوسته بوده و دارای حد است ولی سه شکل دیگر نمایانگر انواع ناپیوستگی یک نمودار در یک نقطه است



تعریف مجرد حد:

فرض کنید f تابعی باشد روی یک بازه باز که شامل نقطه C است و فرض کنید L یک عدد حقیقی باشد در این صورت را به صورت زیر تعریف میکنیم:
به ازای هر وجود دارد یک که برای هر x دلخواه اگر آنگاه نتیجه بگیریم:


حد توابع در بی نهایت
حد یک تابع فقط در نزدیکی اعداد متناهی تعریف نمی شود بلکه ممکن است متغیر توابع وقتی که بی نهایت نزدیک می شود دارای حد باشند.
به عنوان مثال در تابع خواهیم داشت:
• f(100) = 1.9802
• f(1000) = 1.9980
• f(10000) = 1.9998
مشاهده میشود که هر چه قدر x بزرگتر میشود ،مقدار تابع به عدد 2 نزدیکتر میشود .در واقع داریم:



حد یک دنباله
حد یک دنباله مانند 1.79, 1.799, 1.7999,... را در نظر بگیرید. مشاهده می کنیم که این دنباله به عدد 1.8 نزدیک می شود.
به طور کلی فرض می کنیم یک دنباله از اعداد حقیقی باشد. می گوییم حد این دنباله برابر L است و می نویسیم: اگر و تنها اگر برای هر یک عدد طبیعی مانند m باشد که برای هر n>m داشته باشیم
باید توجه کرد که ما می توانیم مقدار . را به عنوان فاصله بین و L در نظر بگیریم به چنین دنباله هایی که حد آنها به یک عدد متناهی میل می کند همگرا گویند و گرنه به آن واگرا گویند



ناپیوستگی

مقدمه: بطور کلی می توان ناپیوستگی ها را به عنوان یک سطح فرسایش یا سطحی که در آن رسوب گذاری انجام شده تعریف کرد که در روی آن طبقات جوان تر قرار گرفته اند. درحقیقت ، ناپیوستگی دو سری طبقات با سن های مختلف را از یکدیگر جدا می کند.
مرحل تشکیل ناپیوستگی:
• ناپیوستگی در چند مرحله تشکیل می شود. در اولین مرحله ، سنگهای قدیمی تشکیل می شوند. پس از مدتی ، ممکن است به عللی رسوب گذاری قطع و رسوبگذاری در روی این طبقات متوقف شود و یا اینکه دریا پسروی کند و طبقات قدیمی ، چین خوردگی پیدا کرده و در معرض فرسایش قرار گیرند. هرگاه برروی این سطح فرسایش یافته ، مجددا دریا پیشروی کند و طبقات جدیدی تشکیل شود ، یک ناپیوستگی به وجود می آید. با توجه به آنچه گفته شد ، درمی یابیم که ناپیوستگی ها از سویی به ساخت های اولیه مربوط اند و از سوی دیگر ، عوامل تکتونیکی در تشکیل آنها رل موثری به عهده دارد و بنابراین ، آنها را می توان در ساختهای ثانویه طبقه بندی کرد. در طرفین سطح ناپیوستگی ، ممکن است سنگهای رسوبی ، آذرین نفوذی ، آتشفشانی و دگرگونی مشاهده شود.
انواع ناپیوستگی ها:
• ناپیوستگی ها را براساس سنگهای موجود در طرفین سطح فرسایش و عوامل تکتونیکی موثر ، به چهار دسته اساسی زیر تقسیم می کنند:
o ناپیوستگی دگر شیب یا دگر شیبی: در این ناپیوستگی ، طبقات دو طرف سطح ناپیوستگی با هم موازی نیستند بلکه نسبت به هم حالت دگرشیب قرار دارند. نمونه جالبی از دگرشیبی در طبقات ژوراسیک و کرتاسه در ناحیه کرمان دیده می شود.
o ناپیوستگی هم شیب: هرگاه سنگهای موجود در طرفین سطح ناپیوستگی با یکدیگر موازی و بین آنها یک سطح فرسایش مشخص وجود داشته باشد ، ساختمان حاصله به نام ناپیوستگی هم شیب خوانده می شود. معمولا ناپیوستگی هم شیب وسعت زیادی دارد و اختلاف سن سنگهای سطح آن زیاد است.
o ناپیوستگی آذرین پی: در مواردی که سنگهای زیرین سطح ناپیوستگی از نوع آذرین باشد ، به نام ناپیوستگی آذرین پی نامیده می شود. در بعضی موارد ، این نام به ناپیوستگی هایی که سنگهای آنها دگرگونی است نیز اطلاق می شود.
o ناپیوستگی بدون فرسایش: اگر در ناپیوستگی ، سطح فرسایش مشخصی وجود نداشته و طبقات دو طرف سطح ناپیوستگی باهم موازی باشند ، پدیده حاصله به نام ناپیوستگی بدون فرسایش نامیده می شود. بدیهی است در این حالت تشخیص ناپیوستگی فوق العاده مشکل است و تنها در مواردی که اختلاف زمانی قابل توجهی بین دو لایه مجاور موجود باشد ، می توان به وجود آن پی برد.
نشانه های تشخیص ناپیوستگی ها:
• کنگلومرای قاعده: در بسیاری موارد ، طبقات جوان تر ، یعنی طبقاتی که در بالای سطح ناپیوستگی قرار دارند ، با یکنوع کنگلومرا شروع می شود که مشخص پیشروی دریا بر روی سطح ناپیوستگی است.
• قطع ناگهانی گسله ها ، دایکها و پدیده های مشابه: از آنجایی که سنگهای موجود در طرفین سطح ناپیوستگی ، در مراحل مختلف تشکیل شده اند ، لذا در بسیاری موارد ، خصوصیات ویژه این طبقات در امتداد سطح ناپیوستگی قطع می شود. مثلا اگر در طبقات قدیمی ، قبل از تشکیل طبقات جدید ، گسله ای به وجود آمده باشد ، این گسله ها به سطح ناپیوستگی محدود خواهند شد. همچنین اگر در طبقات زیرین ، یک دایک وجود داشته باشد ، در امتداد سطح ناپیوستگی به طور ناگهانی قطع خواهد شد.
• تغییر ناگهانی در مشخصات طبقات: اگر مشخصات سنگها مثل رنگ ، جنس و سایر خصوصیات ، در یک امتداد به طور ناگهانی تغییر کند ، ممکن است در امتداد یاد شده یک ناپیوستگی وجود داشته باشد.
• ویژگیهای ناپیوستگی ها در نقشه های زمین شناسی: ناپیوستگی ها در نقشه های زمین شناسی مشخصات ویژه ای دارند که به کمک آنها ، می توان ناپیوستگی را تشخیص داد.
• اختلاف فاحش در میزان سنگ شدگی طبقات: اگر بین طبقات یک منطقه تفاوت فاحشی در میزان سنگ شدگی و سیمان شدگی طبقات دیده شود ، ممکن است در فصل مشترک این طبقات ، ماسه سنگ و شیل دیده شود ، فصل مشترک این سنگها را می توان به عنوان ناپیوستگی در نظر گرفت.
• اختلاف فاحش در درجه دگرگونی: در حالتی که درجه دگرگونی سنگهای یک منطقه تفاوت بارزی داشته باشد ، می توان تصور کرد که سنگهای با درجه دگرگونی کم ، مدتها پس از سنگهای با درجه دگرگونی زیاد ، به وجود آمده اند و بنابراین ، در فصل مشترک این دو دسته سنگ ممکن است ناپیوستگی وجود داشته باشد.
• اختلاف فاحش در شدت چین خوردگی طبقات: اگر در ناحیه ای ، طبقات شدیدا چین خورده ، در مجاورت طبقاتی که دارای چین خوردگی خفیف و یا به حالت افقی اند ، واقع باشد ، می توان تصور کرد که طبقات با چین خوردگی کمتر ، جوان تر از طبقات دارای چین خوردگی شدیداند و بین آنها ممکن است یک ناپیوستگی وجود داشته باشد.
• نشانه های فسیل شناسی: در بسیاری حالات ، دلایل فسیل شناسی نیز ممکن است برای مشخص کردن یک ناپیوستگی مفید واقع شود. مثلا اگر در ناحیه ای سنگهای حاوی فسیل ها ی تریاس بالا ، بلافاصله در زیر طبقات حاوی فسیل های کرتاسه پایین قرار گیرند ، حتی اگر این طبقات به موازات یکدیگر هم باشند ، باز هم می توان به وجود یک خلا رسوب گذاری در ژوراسیک پی برد و بدین ترتیب ، فصل مشترک طبقات مزبور را به عنوان یک ناپیوستگی هم شیب در نظر گرفت.
نشانه های تشخیص ناپیوستگی از گسله ها:
• از جمله مسائلی که می تواند در تشخیص حقیقی مرزها موثر واقع شود ، ویژگی های خاص ناپیوستگی یا گسله است. مثلا اگر در فصل مشترک طبقات کنگلومرای قاعده دیده شود ، نشانه بارزی بر وجود ناپیوستگی است. به ویژه اگر این کنگلومرا حاوی قطعاتی از سنگهای قدیمی تر باشد ، قطعا می توان آنرا نشانه ناپیوستگی دانست. همچنین نشانه های ویژه گسله از قبیل آینه گسله ، برش و سایر مشخصات ویژه سطح آن ، می تواند به عنوان وجود گسله تعبیر شود.
• بایستی توجه داشت که چون سطح ناپیوستگی از جمله نقاط ضعف طبقات به شمار می آید ، لذا در بعضی حالات ، ممکن است سطح ناپیوستگی در عین حال یک سطح گسله نیز باشد یعنی پس از تشکیل ناپیوستگی ، گسلی نیز در امتداد سطح به وجود آمده باشد. 


حدهای مبهم
شاید هنوز زود باشد که بخواهیم در مورد حدهای مبهم بحث کنیم اما ، اولا سادگی وثانیا کنکوری بودن و ثالثا جالب بودن اینگونه حدود باعث میشود تا دانش آموزان به وجد امده و اشتیاق بیشتری برای یادگیری از خود نشان دهند. با تمام این احوال باید نکات را از ساده به مشکل و بگونه ای مطرح کرد تا این اشتیاق مبدل به ترس نشود.
به زبان ساده حدهای که بصورت صفر صفرم (0/0) ، بینهایت بینهایتم ، صفر ضربد بینهایت و بینهایت منهای بینهایت را حدود مبهم گوییم
که البته در کلاس پیش دانشگاهی صفر بتوان صفر ، بینهایت بتوان بینهایت ، صفر بتوان بینهایت ، بینهایت بتوان صفر نیز به ان اضافه میشود .
توجه عبارات فوق به لحاظ ریاضی صحیح نیست بلکه منظور صفر حدی میباشد و عبارات در دانشگاه بصورت کاملتر بیان میشود
اما در متوسطه برای ساده تر شدن مطلب اکثرا از این نوع گویش استغاده میشود



در این حالت دو نوع روش حل وجود دارد که اولی در جلسه امتحان و دیگری برای مسائل کنکور مورد استفاده قرار میگیرد
روش اول امتحان : در این روش عبارات صورت و مخرج را تجزیه کرده و عامل صفر کننده را از صورت و مخرج ساده میکنیم
روش دوم کنکور : (هوپیتال) در این روش براحتی از صورت و مخرج جداگانه مشتق میگیریم و اگر دوباره مبهم شد این روند را ادامه میدهیم تا به جواب برسیم

برای مشاهده این دو روش روی صفر صفرم کسری بدون رادیکال کلیک کنید. .

حالت دوم : حدهای صفر صفرم کسری با رادیکال

در این حالت نیز مانند قبل دو نوع روش حل وجود دارد
روش اول امتحان : در این روش عبارات صورت و مخرج را درمزدوجشان ضرب کرده تا رادیکال حذف شود سپس صورت و مخرج را تجزیه و ساده میکنیم
روش دوم کنکور : (هوپیتال) در این روش براحتی از صورت و مخرج جداگانه مشتق میگیریم و اگر دوباره مبهم شد این روند را ادامه میدهیم تا به جواب برسیم

برای مشاهده این دو روش روی صفر صفرم کسری با رادیکال کلیک کنید. .

حالت سوم : حدهای بینهایت بینهایتم کسری بدون رادیکال

این حالت یکی از سادهترین و در عین حال مهمترین حالات است که با وجود سادگی اولا در کنکور و ثانیا در محاسبه دنباله ها و سری ها مورد استفاده قرار میگیرد
وقتی که x بسمت بینهایت میل میکند
سه حالت اتفاق می افتد
یک : درجه مخرج از درجه صورت بزرگتر است . که همیشه جواب ان صفر میشود
دو : درجه مخرج با درجه صورت مساوی است که جواب . ضریب بزرگترین درجه صورت به ضریب بزرگترین درجه مخرج میشود
سه : درجه صورت از درجه مخرج بزرگتر است که جواب با توجه به تفاضل بزرگترین درجه ها و همچنین ضرایبشان همواره مثیت ویا منفی بینهایت میشود

برای مشاهده این سه روش روی بینهایت بینهایتم کسری بدون رادیکال کلیک کنید. .

حالت چهارم : حدهای بینهایت بینهایتم کسری با رادیکال

روش اول :در این حالت مانند صفر صفرم کسری میتوانیم از هوپیتال استفاده کنیم
زیرا میتوان هر یک از بینهایتها را بصورت یک بخشبر صفر نوشت و با دور در دور کردن اولا عبارت بصورت صفر صفرم درامده و ثانیا ایکس بجای اینکه به بینهایت میل کند به صفر میل میکند
روش دوم : مانند روش قبل چون ایکس به بینهایت میل میکند میتوان ایکس ها را بصورت توان دار نوشت و دقت کرد کدامیک از درجه ها بزرگتر است

برای مشاهده این دو روش روی حدهای بینهایت بینهایتم کسری با رادیکال کلیک کنید. .

حالت پنجم : حدهای صفر ضربدر بینهایت

در این حالت ابتدا بینهایت را معکوس کرده بصورت یک بر صفر تبدیل میکنیم در نهایت تابع بصورت صفر صفرم در می اید که در حالات اول و دوم روش حل انها را اموختیم
وقتی که تابع بصورت صفر صفرم در امد میتوانیم از هوپیتال نیز استفاده کنیم

برای مشاهده این روشها روی حدهای صفر ضربدر بینهایت کلیک کنید. .

حالت ششم : حدهای بینهایت منهای بینهایت

در این حالت روشهای مختلفی وجود دارد و حتی بعضی از انها ابتکاری نیز میباشد ولی اکثر این سوالات با استفاده از هم ارزیها قابل حل میباشند بخصوص تستهای کنکور اکثرا با روش هم ارزی حل میشوند بنا بر این ما نیز بهتر میبینیم که هم ارزی را بصورت کامل بیان کرده و در انجا اینگونه مسائل را مطرح کنیم

پس برای مشاهده این هم ارزیها روی لینک هم ارزیها کلیک کنید. .

حالت هفتم: هم ارزیها

هم ارزیها یکی از راهای ساده و سریع برای رسیدن به جوابهای حدهای مثلثاتی و همچنین رادیکالی میباشد بطوری که در بسیاری از موارد با استفاده از هوپیتال که یک روش قوی ، سریع وراحت برای محاسبه حدود است هر چقدر که از هوپیتال استفاده میکنیم مسئله طولانی تر و بغرنج تر میشود ولی با استفاده از ها ارزی حتی بعضی مواقع مسائل را میتوان ذهنی حل نمود
به هر حال بنده توصیه میکنم که این هم ارزیها را ابتدا از حفظ کرده و سپس به حل مثالها اقذام کنید.

برای آنکه  بتوانیم مساحت شکل مسطح را حساب کنیم واحدی برای مساحت در نظر می‌گیریم که عبارت است از مساحت مربعی که طول اضلاع آن مساوی واحد می‌باشد. اگر مثلا اینچ را واحد طول گرفته باشیم واحد مساحت نظیر آن عبارت است از اینچ مربع یعنی مساحت مربعی که طول اضلاع آن یک اینچ می‌باشد. بر مبنای این تعریف به آسانی می‌توان مساحت هر مربع مستطیل را حساب کرد.  

سلام